La réponse est oui, car dans le cas où la voiture est derrière une des deux portes non choisies par le joueur (deux chances sur trois), l'animateur a éliminé la chèvre (le mauvais choix pour le joueur), il ne reste donc que la voiture. L'aide apportée par l'animateur est donc d'éliminer le mauvais choix (la chèvre) dans deux cas sur trois à condition bien sûr que le joueur change son choix initial. + En moyenne, il gagnera donc une fois sur trois et perdra forcément 2 fois sur 3, exactement comme si le présentateur n'ouvrait pas de porte. i vous allez devoir écrire les opérations en toutes lettres. p ) {\displaystyle i} j F La deuxième subtilité est que le banquier connaît le contenu des boîtes : ainsi, en fonction de ce qu'il propose, il peut influer sur la décision du candidat et tourner la situation à son propre avantage. Pour une démonstration formelle, voir le paragraphe « résolution par la formule de Bayes Â». Le problème de Monty Hall est un casse-tête probabiliste librement inspiré du jeu télévisé américain Let's Make a Deal.Il est simple dans son énoncé, mais non intuitif dans sa résolution et c'est pourquoi on parle parfois à son sujet de paradoxe de Monty Hall.Il porte le nom de celui qui a présenté ce jeu aux États-Unis pendant treize ans, Monty Hall. P Lorsqu'au début du jeu le joueur choisit arbitrairement une porte, il n'a aucun indice sur la position de la voiture, la probabilité de trouver la bonne porte est alors une chance sur trois. Pour évaluer les chances après ouverture, il suffit en fait de constater qu'il y a après choix totale symétrie entre les 2 portes non choisies (Hypothèses 1b et 3). = Il ne s'agit plus d'ouvrir des portes mais de réaliser des mesures sur un système. Les "trois cas" font référence aux trois cas du jeu : {choix d'une chèvre, choix d'une chèvre, choix du prix}. Or, ce choix avait une chance sur trois d'être bon. Avantage toujours au changement. En biaisant les règles, on peut inverser l'efficacité des stratégies. Rappelons qu'il est équivalent de dire que la porte choisie initialement a sa probabilité de cacher la voiture inchangée ou que les portes non choisies non ouvertes ont hérité de la probabilité des portes ouvertes. En effet, le jeu comporte un certain nombre de boîtes contenant une variété de sommes allant du très faible au très élevé, qu'il faut éliminer jusqu'à n'en avoir plus que deux. Dans notre cas l'animateur a ouvert une des deux portes que le joueur n'a pas choisies et derrière cette porte apparaît une chèvre. Une application du théorème de Bayes au problème de Monty Hall pourrait être formulée ainsi : Considérons le cas où la porte 3 a été choisie et aucune porte n'est encore ouverte. Cependant il manquait au moins un élément de taille : la question de savoir si le candidat devait ou non changer sa décision initiale pour avoir plus de chances de gagner la voiture n'avait de sens que si l'énoncé précisait bien que le présentateur savait précisément ce qui se cachait derrière chaque porte, élément justement omis dans l'article du Parade Magazine. Depuis le milieu des années 1970 (Myron Tribus, Jaynes...), plusieurs auteurs préfèrent la définir comme la traduction d'un état de connaissance. ∑ Le candidat a la boîte A, il élimine la boîte B, il échange : gagné. Savoir ce qu'a prévu la direction du jeu pour le cas où la voiture aurait été dévoilée est sans importance (des possibilités sont envisagées dans les variantes). La distance, que l'on désigne le plus souvent par la lettre d, est la mesure entre deux points en ligne droite. Plusieurs simulations, dont certaines sur Internet (Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, pour versions Internet explorer 4 ou +, en anglais) confirment les résultats théoriques d'1⁄3 et de 2⁄3 et ce d'autant plus que le nombre d'itérations est important ; on peut calculer la probabilité d'avoir de tels résultats en supposant que la vraie probabilité serait 1⁄2-1⁄2, elle peut être rendue arbitrairement petite en augmentant le nombre d'essais (on n'a pas signalé de simulation apportant un résultat contraire ; la confirmation du résultat 1⁄3-2⁄3 ne repose pas que sur les expériences, mais sur leur reproductibilité). + P {\displaystyle {\frac {1}{3}}} Si le joueur choisit la porte à voiture, le présentateur ouvrira au hasard une des deux portes à chèvre (éventuellement préalablement désignée par tirage au sort). s'impose, en particulier après la réalisation de simulations d'un grand nombre de tirages — c'est en particulier seulement ainsi que le mathématicien Paul Erdos admit cette solution ; la simulation est ici si simple à programmer que ses résultats sont indiscutables. Vázsonyi told Erdös about the Monty Hall dilemma. Le candidat a la boîte C, il élimine la boîte A, il échange : perdu. L'équation mathématique a été convertie en image. = Le premier affirme qu'après ouverture de la porte, il reste deux portes, chacune ayant tout autant de chances de cacher la voiture. “I told Erdös that the answer was to switch,” said Vázsonyi, “and fully expected to move to the next subject. p On trouvera une analyse beaucoup plus détaillée de situations analogues, où on ne s'occupe plus directement de probabilités, mais de stratégies (au sens de la théorie des jeux) dans un article récent de Sasha Gnedin (en)[3]. Ces probabilités sont des probabilités a priori et ne changeront donc jamais pendant toute la durée du jeu. , Cette fois comme on choisit un vecteur de mesure, les possibilités sont illimitées. Comme il y a 2 chèvres sur 3 portes, vous avez 2⁄3 de gagner la voiture. À ce point, votre probabilité d'avoir éliminé les deux chèvres est donc de 2⁄3 (étape 1) fois 1 (étape 2), c'est-à-dire de 2 chances sur 3. soit le candidat avait choisi la voiture (1 chance, soit le candidat avait choisi une chèvre (2 chances. 2? " Ouvrir une porte voire deux ou les trois, après le choix, ne modifiera en rien a posteriori la probabilité que l'on avait de choisir la bonne porte au début du jeu (la connaissance du résultat du tirage du loto ne modifie en rien la probabilité que vous aviez de gagner à ce tirage), mais nous apportera peut-être, en revanche, un indice sur la position de la voiture. Chiffres, nombres, mathématiques- Cours et exercices de ...2Cours et exercices de français gratuitsPARTENAIRES: Sites pour professeurs | Sites pour parents | Sites de professeurs | Cours mathématiques | Cours d'espagnol | Cours d'allemand | Cours de ...3Test de niveau français [Test]PARTENAIRES: Sites pour professeurs | Sites pour parents | Sites de professeurs | Cours mathématiques | Cours d'espagnol | Cours d'allemand | Cours de ...4Réflexion mathématique en toutes lettres 1 [Test]Réflexion mathématique en toutes lettres 1. Prenons le cas d’un candidat qui suit toujours la même stratégie à chaque jeu, celle de maintenir systématiquement son premier choix. En particulier il est clair que si les deux portes étaient ouvertes, cette probabilité deviendrait une certitude, soit dans un sens, soit dans l'autre. P Et ultimement (en ayant remis en jeu autant de fois que nécessaire) : Les probabilités de gain final pour chacune des stratégies est égale à la probabilité de gain sur une manche sachant que cette manche aboutira. G ′ Les prix sont répartis par tirage au sort. La probabilité que la voiture soit derrière la porte 2 La même expérience sur 100 portes devient bien plus instructive. . Cependant, il existe une différence majeure qui fait que le problème de Monty Hall ne s'applique pas dans À prendre ou à laisser. Si le joueur choisit une porte à chèvre, le présentateur ouvrira la seule autre porte à chèvre. + 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 1 Par contre, le troisième prisonnier, celui qui n'a pas été désigné, a maintenant deux chances sur trois de s'en sortir. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. On a donc tout autant de chances de gagner avec changement que sans changement. Quelles sont les probabilités ? p Ainsi, lorsqu'il décide d'ouvrir une boîte, la probabilité d'éliminer un prix de forte valeur n'est pas nulle, là où dans le cas de Monty Hall, cette probabilité est nulle. Il est donc préférable de se fonder sur un énoncé non équivoque du problème, incluant les contraintes du présentateur, décrit par Mueser et Granberg comme suit : Le présentateur n'ouvre jamais la porte devant la voiture, en effet : Ou formulé autrement, cela revient à dire : La solution la plus simple repose sur les dénombrements, soit le comptage du nombre de cas satisfaisants, insatisfaisants et total. {\displaystyle B} mathématique et en science, et par la multiplicité des problèmes à portée didactique que peuvent imaginer les enseignants, toutes disciplines confondues. Bien sûr, le présentateur n'ouvre jamais une porte donnant sur la voiture, donc sans surprise la porte 1 donne sur une chèvre ce qui a pour effet de transférer la probabilité de 2⁄3 de chances d'avoir une voiture non plus sur les portes 1 et 2 comme expliqué précédemment, mais uniquement sur la porte 2 (voir graphique ci-dessous). Il est effectivement légitime de se demander pourquoi l'ouverture de la troisième porte ne modifie la probabilité que de l'une des deux portes. On retrouve également ce problème dans l'épisode 13 de la première saison de la série Numb3rs, quand le professeur de mathématiques Charlie Eppes (interprété par David Krumholtz) tente de l'enseigner à ses élèves. / La probabilité que la voiture soit derrière la porte 2 sachant que le présentateur ouvre la porte 1 est donc : De nombreuses variantes ont été proposées, modifiant les paramètres. Avoir 1 chance sur 3 de gagner la voiture est illusoire. {\displaystyle G} 3 la probabilité à l'origine pour que la porte i cache la voiture. est de 1⁄3, probabilité qui serait en outre exactement la même pour chaque porte. ( Ce problème a longtemps été un cas de paradoxe probabiliste (à l'instar du problème de la Belle au bois dormant) pour lequel il existe deux solutions contradictoires défendables sans qu'on parvienne à faire triompher une interprétation. 2 pour la porte 3 (avec changement) et de Là encore, probabilité égale de gagner ultimement avec ou sans changement. v = cas 2 : Le candidat ayant initialement choisi la porte de la chèvre 2, le présentateur ouvre la porte de la chèvre 1. Comme une probabilité s'exprime en tant que quotient des nombres de cas, et comme la porte ne s'ouvre jamais sur le prix, on a donc deux chances sur trois d'être face aux choix "garder une chèvre ou la changer pour le prix". Lorsque le candidat choisit une porte, il a 99 % de chances d'en choisir une avec une chèvre derrière. Gardons les mêmes règles du jeu, mais modifions la formulation du but à atteindre : Pour gagner, au lieu de trouver la voiture, vous devez éliminer les deux chèvres (en éliminant deux portes). Il est en général plus facile de se tromper dans une simulation que dans un raisonnement, même probabiliste, mais celle-ci est tellement simple à écrire qu'elle ne laisse guère de place à l'erreur, quoi qu'en suggère son résultat fortement contre-intuitif. Le candidat a la boîte B, il élimine la boîte A, il n'échange pas : perdu. En effet, dans ce dernier, ce n'est pas le présentateur qui ouvre une porte, qui cache obligatoirement un prix de faible valeur (sachant ce qu'il y a derrière les portes), mais le candidat lui-même, qui n'a aucune information. Le diagramme ci-dessous montre le même raisonnement d'une manière plus complète et plus formalisée : La façon de jouer ci-dessous est équivalente au « changement systématique du choix initial Â», mais les raisons de la répartition finale 1⁄3-2⁄3 apparaissent beaucoup plus intuitives. {\displaystyle P(B_{i}|A)={\frac {P(A|B_{i})P(B_{i})}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_{j})P(B_{j})}}\,,}. Réflexion mathématique en toutes lettres 2. ( Les trois portes ont, tant qu'aucune n'est ouverte, la même probabilité d'être la porte gagnante ; cette hypothèse est équivalente aux deux qui suivent : Le présentateur doit ouvrir une porte, et celle-ci ne peut être ni la porte choisie par le joueur, ni la porte gagnante (il connaît l'emplacement de cette dernière, ce qui lui permet de répondre à cette condition sans risque d'erreur). - Vous êtes actuellement sur le site francaisfacile.com pour apprendre le françaisSavez-vous que nous avons un site consacré aux mathématiques? B On note au passage que le présentateur n'a absolument aucune liberté dans le fait d'apporter de l'information ou non, donc que sa volonté d'aider ou de nuire n'a aucun effet. La probabilité que la voiture se trouve derrière la porte restante peut être calculée avec les diagrammes ci-dessous. Si le présentateur n'agit pas en exploitant sa connaissance de la véritable porte, les précédents calculs ne s'appliquent pas. Le sens ii ⇒ i) est facile. {\displaystyle p_{3}=p_{2}} Le candidat a la boîte A, il élimine la boîte C : perdu avec ou sans échange. Pas forcément, mais tels que les calculs ont été faits, les situations après ouverture sont des sous-cas du calcul précédent. Dans son roman Sweeth Tooth de Ian McEwan, l'héroïne Serena Frome explique le problème de Monty Hall à son amant et auteur Tom Haley, qui en tirera une nouvelle[6]. o Junpei, d'abord abattu, saute de joie à l'idée que leur chance de trouver le masque soit réduite à un choix à 50-50, alors qu^'il s'agit d'un choix à 10-90. Ce type de raisonnement assimile un phénomène aléatoire (une chance sur trois que la voiture soit derrière n'importe laquelle des portes) et la connaissance que l'on a de la réalité du phénomène (derrière quelle porte est réellement située la voiture). o Le fait de poster ces petits problèmes sur un réseau social utilisé par de nombreux enseignants a également permis de les partager avec d’autres collègues, les aidant certainement dans … La porte restante cache la voiture. Pour faire le calcul avant ouverture de la porte, il faut raisonner ainsi : on doit envisager la possibilité que la porte choisie initialement soit la bonne, et celle que chacune des deux autres portes soit la bonne. Que se passe-t-il si ce n'est plus le cas ? On parle alors de problème "chaotique", et il faudra se débrouiller pour tenir compte des résultats imprévisibles. Ces formules s'obtiennent par calcul avec un arbre, mais on peut les trouver immédiatement en utilisant le fait que quand les portes ont à l'origine toutes la même probabilité de cacher la voiture, l'ouverture laisse les probabilités inchangées pour les portes choisies à l'origine. Et si vous ne le faites pas, … Preuve : En supposant que le participant pense que le présentateur pourrait choisir la voiture, on constitue la liste les triplets de choix de la forme (1er choix participant, choix présentateur, porte restante) dont les éléments sont notés C pour chèvre, V pour voiture : (C,C,V), (C,V,C), (C,C,V), (C,V,C),(V,C,C), (V,C,C). Les "deux cas" font référence aux deux cas désavantageux : {choix d'une chèvre, choix d'une chèvre}. C'était donc une limite d'une autre nature qu'une mesure ponctuelle, puisque pouvant mettre en jeu des valeurs non réelles comme des infinis. c De manière encore plus simple, on peut reformuler en disant que si après le choix initial du candidat il était envisageable que la voiture se trouve derrière les portes 1 et 2 (avec une probabilité de 2⁄3), ce n'est plus le cas après l'ouverture de la porte 1 par le présentateur : seule la porte 2 est encore susceptible de cacher la voiture (et par conséquent, toujours avec une probabilité de 2⁄3). Derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. La publication de cet article dans le Parade Magazine a eu un impact immédiat sur le lectorat et a engendré de très nombreuses discussions parmi les mathématiciens, célèbres ou non, et les amateurs anonymes. Le candidat aura donc tout intérêt à changer son choix initial. P Quand le présentateur a le choix entre deux portes à ouvrir (toutes deux perdantes), il choisit arbitrairement entre les deux, avec équiprobabilité, ce qui n'a pas d'importance, car les portes, alors, ne se distinguent pas fonctionnellement l'une de l'autre. p = Cette notion est compatible avec un état de (non-)connaissance, mais non avec des fréquences. 2 souhaitée]. Dans le pre-mier cas, développement de compétence et apprentis-sage disciplinaire chevauchent. est alors de 1⁄2. Les résultats donnés impliquaient nécessairement les postulats suivants : Or, comme ces éléments n'étaient pas mis en avant dans l'énoncé du problème, et ce même s'ils étaient implicites, d'autres résultats statistiques que ceux donnés dans l'article devenaient possibles. Une réorganisation et une clarification du contenu paraissent nécessaires. dans le problème traditionnel), Et on a p O Il est souvent possible de trouver la solution de chaque problème par un raisonnement simple, comme dans le problème principal, mais la difficulté à saisir le rôle de chaque hypothèse conduit souvent à une réponse erronée, et il est donc préférable de d'abord résoudre le problème analytiquement. les chances sont après ouverture de Mais le courrier des lecteurs lui fit se reprendre : les probabilités sont de 1⁄3 pour que le changement soit gagnant, 1⁄3 pour que le maintien du choix initial soit gagnant, 1⁄3 pour qu'il y ait remise… Soit sur l'ensemble du jeu (après autant de remises qu'il aura fallu) 1 chance sur 2 de gagner quelle que soit la stratégie adoptée lors de la première manche non annulée. L'écriture en capitales, plus facile graphiquement, ne fait pas l'objet d'un enseignement systématique ; lorsqu'elle est pratiquée par les enfants, l'enseignant veille au respect de l'ordre des lettres et met en évidence les conséquences du respect ou non de cet ordre sur ce qui peut ensuite être lu. Le candidat a la boîte C, il élimine la boîte A, il n'échange pas : gagné. Ils affirment par conséquent que la probabilité de gagner est la même en changeant ou sans changer, soit1⁄2. Le premier point de vue est une illusion de parité due au fait qu'un choix est demandé sur les deux portes restantes. 1 Le second affirme que si l'on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait fait le bon choix au départ. Si le joueur n'est pas averti ou expérimenté, et que le doute est intentionnellement entretenu, alors tout se passe comme s'il "voyait" des probabilités égales sur les deux portes finales.
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