Le premier affirme qu'après ouverture de la porte, il reste deux portes, chacune ayant tout autant de chances de cacher la voiture. On ajoute donc aux événements précédents les trois événements suivants : On a vu précédemment que lorsque le candidat avait choisi initialement une porte à chèvre, changer de porte le menait forcément à gagner la voiture, soit : On a aussi vu qu'en ayant initialement choisi la voiture, changer de porte menait forcément le candidat à ouvrir une porte à chèvre. Cela montre donc que la probabilité varie en fonction des connaissances : c'est la notion de probabilité conditionnelle, et en fait toute probabilité, explique Myron Tribus, est conditionnelle à un état de connaissance. = Il vous demande alors : « désirez-vous ouvrir la porte numéro 2 ? o 3 De plus, le raisonnement a employé le fait que le jeu n'autorise jamais la remise. p Ils sont tous les trois enfermés dans une salle hermétique ne s'ouvrant qu'après un delai de 20 minutes et Zéro, le maître du jeu, inonde l'air d'un gaz irrespirable. L'équipe C est alors confrontée à une mort certaine mais se trouve face à un ensemble de 10 casiers, dont l'un contient un masque à gaz; ils n'ont le droit qu'à un seul choix. Depuis le milieu des années 1970 (Myron Tribus, Jaynes...), plusieurs auteurs préfèrent la définir comme la traduction d'un état de connaissance. Dernière variante : le présentateur ouvre une porte ne cachant pas la voiture et non choisie par le candidat, mais pas au hasard : au contraire, il ouvre systématiquement la plus à droite des portes répondant aux précédents critères. nécessaire]. Une réorganisation et une clarification du contenu paraissent nécessaires. Donnons une formule globale pour toutes les variantes des deux paragraphes précédents. ... outre la réflexion mathématique qu 'il vous est demandée. | est alors de 1⁄2. Il faut alors penser à l'issue de chacune de ces possibilités, c'est-à-dire se demander quelle porte sera ouverte par le présentateur (4 sous-cas en tout) et ce qu'il faudra faire alors pour gagner. {\displaystyle P(O_{1}|F_{2})=1} F Oui pour les bayésiens, car les conditions de connaissance viennent de changer. La probabilité que la porte choisie par le joueur cache une voiture est donc toujours d'une chance sur trois[réf. Il est effectivement légitime de se demander pourquoi l'ouverture de la troisième porte ne modifie la probabilité que de l'une des deux portes. o B La deuxième subtilité est que le banquier connaît le contenu des boîtes : ainsi, en fonction de ce qu'il propose, il peut influer sur la décision du candidat et tourner la situation à son propre avantage. Comme il y a deux chèvres, l'animateur peut toujours ouvrir une porte pour faire apparaître une chèvre quelle que soit l'image qui se cache derrière la porte initialement choisie par le joueur. Les prix sont répartis par tirage au sort. Ceux qui refusent ce raisonnement (les personnes pro-1⁄2) considèrent que la situation après ouverture d'une porte est équivalente à ouvrir une mauvaise porte avant le choix du candidat. Dans le pre-mier cas, développement de compétence et apprentis-sage disciplinaire chevauchent. ( Cette fois, si on choisit la porte du milieu : Donc, la probabilité de gagner en changeant n'est plus de 2⁄3 mais de 1 ou de 1⁄2 selon les cas, l'espérance totale restant de 2⁄3. ∑ On saisit ici l'importance des règles du jeu qui conditionnent l'ouverture d'une porte à la fois au choix du joueur et à la position de la bonne porte. Dans le second, la situa-tion-problème devient un outil pédagogique au service Dans l'épisode 8 de la saison 4 de la série Brooklyn Nine-Nine, le capitaine Holt et Kevin se disputent pour savoir qui a raison quant à la résolution de ce problème (c'est Amy Santiago qui confirme la réponse des 2/3 à Holt). Il est en général plus facile de se tromper dans une simulation que dans un raisonnement, même probabiliste, mais celle-ci est tellement simple à écrire qu'elle ne laisse guère de place à l'erreur, quoi qu'en suggère son résultat fortement contre-intuitif. 3 P Le candidat aura donc tout intérêt à changer son choix initial. Cette fois comme on choisit un vecteur de mesure, les possibilités sont illimitées. On voit rapidement que la probabilité de gagner en changeant est égale à 1-p, p étant la probabilité pour la porte initialement choisie d'être la bonne, ici 1⁄3 (Hypothèse 1a). ( Le problème se pose comme suit J'ai n bols et des billes colorés.Mon but, mettre trois billes par bol. 1 / En effet, le candidat ayant choisi la porte 3 et le présentateur sachant ce que cache chaque porte : La probabilité que le présentateur ouvre la porte 1 sachant que la voiture est derrière la porte 2 est donc on note Une probabilité était alors définie comme une valeur associée à une expérience menée un grand nombre de fois et si possible même une infinité de fois. Bien sûr, le présentateur n'ouvre jamais une porte donnant sur la voiture, donc sans surprise la porte 1 donne sur une chèvre ce qui a pour effet de transférer la probabilité de 2⁄3 de chances d'avoir une voiture non plus sur les portes 1 et 2 comme expliqué précédemment, mais uniquement sur la porte 2 (voir graphique ci-dessous). j Cela modifie-t-il la connaissance que l'on a de la probabilité que derrière la porte choisie par le joueur se cache la voiture ? pour la porte 3 (avec changement) et de On numérote les cas et on définit les événements en fonction du choix initial comme suit : Ces trois événements sont équiprobables : On observe maintenant le déroulement de la suite dans chacun de ces trois cas : On voit ici aisément que dans 2 cas sur 3, la porte restante cache la voiture. / la probabilité à l'origine pour que la porte i cache la voiture. c La porte restante cache la voiture. , ou plus généralement pour n portes si la probabilité moyenne des portes ouvertes pour cacher la voiture était égale à la probabilité moyenne des portes non choisies pour cacher la voiture. Puisqu'il n'y a qu'une seule voiture, il y a 100 % de chance qu'il y ait une chèvre derrière au moins une des portes 1 ou 2. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Il ne s'agit plus d'ouvrir des portes mais de réaliser des mesures sur un système. {\displaystyle p_{3}'={\frac {p_{1}/2}{p_{3}+p_{1}/2}}} À ce point, votre probabilité d'avoir éliminé les deux chèvres est donc de 2⁄3 (étape 1) fois 1 (étape 2), c'est-à-dire de 2 chances sur 3. + , {\displaystyle p_{c}+p_{o}+p_{t}=1} Plus généralement, s'il y a une probabilité p pour que la porte cachant la voiture soit ouverte (annulant la manche) quand elle n'a pas été sélectionnée, on 1⁄3 chance de gagner sans changer, 2×(1-p)⁄3 chance de gagner en changeant, 2p⁄3 chance de remettre en jeu. o Maintenant l'on peut examiner directement, après ouverture de la porte par l'animateur, si la connaissance de la probabilité que la voiture soit derrière la porte non ouverte et non choisie par le joueur a progressé. La pertinence des résultats statistiques était parfois contestée, mais ce qui posait le plus souvent problème était que l'article n'insistait pas sur les « contraintes Â» du présentateur. o Cela dit, cet énoncé ne fait que s'inscrire dans la lignée de ceux consacrés à ce type de paradoxe. 2 {\displaystyle p_{c}=p_{o}=p_{t}=1/3} Et si vous ne le faites pas, … Savoir ce qu'a prévu la direction du jeu pour le cas où la voiture aurait été dévoilée est sans importance (des possibilités sont envisagées dans les variantes). Il y a donc. Le candidat a la boîte A, il élimine la boîte B, il n'échange pas : perdu. + Le problème se pose lorsque vous voulez retirer vos gains : on vous demande alors d’avoir parié/joué ou tradé 30 fois le montant de votre bonus. ( La démonstration est la même, mais le résultat est plus intuitif : il paraît tellement suspect que toutes les portes non choisies aient été ouvertes sauf une. En 1991, pour une édition dominicale, la une du New York Times ouvre sur ce sujet. Is it to your advantage to switch your choice? Ces formules s'obtiennent par calcul avec un arbre, mais on peut les trouver immédiatement en utilisant le fait que quand les portes ont à l'origine toutes la même probabilité de cacher la voiture, l'ouverture laisse les probabilités inchangées pour les portes choisies à l'origine. v Si le présentateur n'agit pas en exploitant sa connaissance de la véritable porte, les précédents calculs ne s'appliquent pas. Le gardien refuse de lui donner le nom du gracié, mais accepte de lui donner le nom de l'un des condamnés, qui n'est pas le sien. {\displaystyle o_{f}+o_{o}+o_{a}=1}. Le fait que l'animateur injecte de l'information dans le système a pour effet d'inverser cette probabilité. 1 Il porte le nom de celui qui a présenté ce jeu aux États-Unis pendant treize ans, Monty Hall. i Ultimement, 2 chances sur 3 de gagner sans changer. i Quand le présentateur a le choix entre deux portes à ouvrir (toutes deux perdantes), il choisit arbitrairement entre les deux, avec équiprobabilité, ce qui n'a pas d'importance, car les portes, alors, ne se distinguent pas fonctionnellement l'une de l'autre. En d'autres termes, si vous choisissez une chèvre d'entrée de jeu, l'animateur est obligé de vous dire où se trouve la voiture. La solution On trouve une formule générale en appliquant le théorème de Bayes : | Plusieurs simulations, dont certaines sur Internet (Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, pour versions Internet explorer 4 ou +, en anglais) confirment les résultats théoriques d'1⁄3 et de 2⁄3 et ce d'autant plus que le nombre d'itérations est important ; on peut calculer la probabilité d'avoir de tels résultats en supposant que la vraie probabilité serait 1⁄2-1⁄2, elle peut être rendue arbitrairement petite en augmentant le nombre d'essais (on n'a pas signalé de simulation apportant un résultat contraire ; la confirmation du résultat 1⁄3-2⁄3 ne repose pas que sur les expériences, mais sur leur reproductibilité). vous allez devoir écrire les opérations en toutes lettres. ... outre la réflexion mathématique qu 'il vous est demandée. Le joueur augmente-t-il ses chances de gagner la voiture en changeant son choix initial ? Donc : La probabilité de gagner en changeant de porte s'écrit donc comme suit : Dans ce cas, le candidat ne gagne que s'il avait choisi initialement la voiture, on a donc : La probabilité de gagner sans changer de porte s'écrit donc comme suit: Si l'on demande une réponse rapide et intuitive, deux points de vue incompatibles s'opposent. ( t {\displaystyle B} {\displaystyle P(O_{1})} Les chances d'être la bonne porte sont de : Il est équivalent d'ouvrir m portes une par une si le candidat refuse entre chaque ouverture de changer un de ses choix ou d'ouvrir les m portes en même temps. En pratique : Quelles sources sont attendues ? {\displaystyle {\frac {1}{3}}} Cours gratuits de français > Cours et exercices de français > Chiffres, nombres, mathématiques Cours et exercices de français sur le thème : Chiffres, nombres, mathématiques [Changer de thème] N'oubliez pas de visiter nos guides progressifs : p Il est donc impossible de l'éditer. C'est généralement du au choix d'un modèle mathématique non pertinent ou mal conçu. pour la porte 1 (sans changement). Exemple concret avec 3 boîtes restantes, A et B contenant 1 â‚¬ et C contenant 1 000 000 â‚¬. = Il est peut-être plus facile d'appréhender le résultat décrit ci-dessus en considérant 100 portes et non plus trois comme précédemment. La probabilité que la voiture se trouve derrière la porte restante peut être calculée avec les diagrammes ci-dessous. Bien que ce problème soit isomorphe à celui de Monty Hall, son interprétation ne déclenche curieusement pas de déni comparable : Alors que trois prisonniers risquent l'exécution, l'un d'eux apprend de source sûre que l'un des trois a été gracié en dernière minute. Cette notion est compatible avec un état de (non-)connaissance, mais non avec des fréquences. Et ultimement (en ayant remis en jeu autant de fois que nécessaire) : Les probabilités de gain final pour chacune des stratégies est égale à la probabilité de gain sur une manche sachant que cette manche aboutira. En changeant son choix le joueur a donc une probabilité de 2⁄3 × 1 = 2⁄3 de trouver la voiture. ) 3 Il faut donc pour les bayésiens que le joueur change de choix, mais non pour les fréquentistes. = Les "deux cas" font référence aux deux cas désavantageux : {choix d'une chèvre, choix d'une chèvre}. 1 ( f A On trouvera une analyse beaucoup plus détaillée de situations analogues, où on ne s'occupe plus directement de probabilités, mais de stratégies (au sens de la théorie des jeux) dans un article récent de Sasha Gnedin (en)[3]. Lorsque le candidat choisit une porte, il y a 1 chance sur 3 que ce soit celle de la voiture, et 2 chances sur 3 qu'il y ait une chèvre derrière. Si le joueur n'est pas averti ou expérimenté, et que le doute est intentionnellement entretenu, alors tout se passe comme s'il "voyait" des probabilités égales sur les deux portes finales. Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Une seconde variante propose d'ouvrir une porte prise au hasard parmi les deux portes cachant une chèvre, le jeu recommençant s'il ouvrait la porte sélectionnée par le candidat. Le présentateur connaît la répartition des prix. B Dans l'épisode 8 de la série SÅ«gaku Joshi Gakuen (数学♥女子学園) Nina (interprété par Tanaka Reina) est confrontée au problème de Monty Hall lors de son défi contre Satoko (interprété par Nakajima Saki). En effet, le jeu comporte un certain nombre de boîtes contenant une variété de sommes allant du très faible au très élevé, qu'il faut éliminer jusqu'à n'en avoir plus que deux. “I told Erdös that the answer was to switch,” said Vázsonyi, “and fully expected to move to the next subject. L'aide apportée par l'animateur est donc d'éliminer le mauvais choix (la chèvre) dans deux cas sur trois à condition bien sûr que le joueur change son choix initial. = mathématique et en science, et par la multiplicité des problèmes à portée didactique que peuvent imaginer les enseignants, toutes disciplines confondues. On parle alors de problème "chaotique", et il faudra se débrouiller pour tenir compte des résultats imprévisibles. Le nombre restreint de portes favorise cette opposition de principe. 3 i Le second affirme que si l'on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait fait le bon choix au départ. cas 1 : Le candidat ayant initialement choisi la porte de la chèvre 1, le présentateur ouvre la porte de la chèvre 2. You pick a door, say No. C'était donc une limite d'une autre nature qu'une mesure ponctuelle, puisque pouvant mettre en jeu des valeurs non réelles comme des infinis. = 3 Le candidat a la boîte C, il élimine la boîte B, il n'échange pas : gagné. p De ce fait, lorsque le choix est proposé au candidat d'échanger sa boîte avec la dernière restante (dans le cas où il reste un prix de faible valeur et un autre de forte valeur), étant donné qu'il a éliminé toutes les autres boîtes de manière aléatoire, la probabilité de gagner le gros lot en échangeant sa boîte reste de 1⁄2. a 1 La probabilité est-elle inchangée par l'ouverture (plus précisément : par le choix fait par le présentateur entre les deux portes dont on envisageait l'ouverture) ? Réflexion mathématique en toutes lettres 1, Réflexion mathématique en toutes lettres 2, Fran�ais Langue Etrangère / Langue Seconde, Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions), Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice. Par exemple, si nous devons résoudre le problème mathématique 8 + 2 × 5 et que nous commençons par additionner 2 et 8, nous obtiendrons alors 10 × 5 = 50, alors que si nous avions commencé par multiplier 2 et 5, nous aurions obtenu 8 + 10 = 18. ». Lorsqu'au début du jeu le joueur choisit arbitrairement une porte, il n'a aucun indice sur la position de la voiture, la probabilité de trouver la bonne porte est alors une chance sur trois. Mais le courrier des lecteurs lui fit se reprendre : les probabilités sont de 1⁄3 pour que le changement soit gagnant, 1⁄3 pour que le maintien du choix initial soit gagnant, 1⁄3 pour qu'il y ait remise… Soit sur l'ensemble du jeu (après autant de remises qu'il aura fallu) 1 chance sur 2 de gagner quelle que soit la stratégie adoptée lors de la première manche non annulée. Cependant il manquait au moins un élément de taille : la question de savoir si le candidat devait ou non changer sa décision initiale pour avoir plus de chances de gagner la voiture n'avait de sens que si l'énoncé précisait bien que le présentateur savait précisément ce qui se cachait derrière chaque porte, élément justement omis dans l'article du Parade Magazine. Le candidat a la boîte B, il élimine la boîte A, il n'échange pas : perdu. L'écriture en capitales, plus facile graphiquement, ne fait pas l'objet d'un enseignement systématique ; lorsqu'elle est pratiquée par les enfants, l'enseignant veille au respect de l'ordre des lettres et met en évidence les conséquences du respect ou non de cet ordre sur ce qui peut ensuite être lu. En réalité, ce problème est exactement le même que celui de Monty Hall et on démontre de la même façon que les chances pour le prisonnier d'être gracié sont toujours de 1⁄3. Avez-vous intérêt à changer votre choix ? Le candidat a la boîte C, il élimine la boîte A, il échange : perdu. {\displaystyle p_{3}=p_{2}} 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Cependant, il a aussi une probabilité de 1⁄3 d'éliminer cette boîte contenant le gros lot. Le candidat a alors le droit d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou d'ouvrir la troisième porte. On doit à Jean-Paul Delahaye deux variantes qui éclairent bien sur l'importance des règles de l'ouverture de la porte. En brisant cette symétrie, tous les résultats sont possibles.
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